一、实验目的
1、使学生进一步理解VaR的基本概念与计算原理；
2、使学生了解EWMA模型与GARCH模型的基本原理；
3、使学生能够运用EViews软件和Excel软件计算个股的VaR，并比较个股的实际损失与VaR。
二、准备知识
2.1 VaR的基本概念
在险价值（Value at Risk，VaR）是国外近年来兴起的一种风险管理工具，目前已被全球主要的银行、公司及金融监管机构接受为最重要的金融风险管理方法之一。VaR的字面含义是“处于风险中的价值”，具体来说，VaR是指在一定的持有期及置信度内，某一资产或资产组合所面临的最大潜在损失，用数学公式可表示为：
$$\operatorname{Prob}(\Delta P>V a R)=1-c(1)$$
其中，$\operatorname{Prob}(\cdot)$表示概率，$\Delta P$表示资产在持有期内t内的损失，VaR为在险价值，c表示置信水平。上式表示，该项资产在持有期内的损失大于VaR的概率为c。例如，某项资产在96%的置信水平下的日VaR为50万元，其意义就是在正常的市场条件下，该项资产每天的损失超过50万元的可能性为4% （即1-96%）。或者说，在正常的市场条件下，对于100次交易，只存在4次日损失超过50万元的可能性。
2.2 VaR的计算
考虑一个资产，假定P0为其初始价值，r是持有期内的投资收益率，则在持有期末，该资产的价值可表示为$P=P_{0}(1+r)$。假定收益率的期望值和标准差分别为$\mu$和$\sigma$。如果在某一置信水平c下，该资产的最低收益率为$r^{*}$，则其最低价值$P^{}=P_{0}\left(1+r^{}\right)$。根据VaR的定义——在一定置信水平下，资产在未来特定的一段时间内的最大可能损失，并以资产期望价值为基准，则VaR可表示为：$$\operatorname{VaR}=E(P)-P^{*}=P_{0}\left(\mu-r^{*}\right)(2)$$
根据以上定义，计算VaR就相当于计算最小值$P^{*}$或最低收益率$r^{*}$。
目前用来计算VaR的方法主要有三种：参数法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法，本实验主要介绍第一种方法。参数法就是假定金融资产收益率服从某种分布，再根据修正参数和该资产的期初价值计算出VaR。在正态分布的假定条件下，VaR的计算公式可简化为：$$V a R_{t}=P_{t-1} \alpha \sigma_{t}(3)$$
其中，$V a R_{t}$和$\sigma_{t}$表示第t个时期的VaR和标准差，$P_{t-1}$表示第t-1期的资产价格，$\alpha$为标准正态分布的分位数。如果置信水平c为90%，则$\alpha$=1.645；如果置信水平c为95%，则$\alpha$=1.96；如果置信水平c为99%，则$\alpha$=2.33。
可见，计算VaR的关键在于计算资产收益率的方差或标准差。
2.3资产收益率方差的计算
针对实际金融数据的一些基本特征，目前，学术界已经发展了多种方法估计金融资产收益率的方差或波动性，本项目主要采用以下两种方法：
- EWMA模型
EWMA（Exponentially Weighted Moving Average）方法，即指数移动平均方法。EWMA根据历史数据距当前时刻的远近，分别赋予不同的权重，距离现在越近，赋予的权重越大因为越远的历史信息所起的作用越小。
JP Morgan公司开发的风险测量与管理产品RiskMetrics就是通过假定收益率服从正态分布，然后采用EWMA 方法估计和预测资产收益率的波动性与相关性，继而估计资产的VaR，其模型表述如下：$$r_{t} \sim N\left(0, \sigma_{t}^{2}\right)(4)$$
$$\sigma_{t+1}^{2}=(1-\lambda) r_{t}^{2}+\lambda \sigma_{t}^{2}(5)$$
其中，和分别t时期的收益率和方差，是衰减因子（decay factor），其取值范围在0至1之间。在实践中，方差序列的初始值通常取收益率的平方。对于衰减因子的选择，可根据最小化平方根平均误差(RMSE)的标准来选择最优的衰减因子。为简化起见，根据RiskMetrics，本项目在计算日VaR直接取＝0.94。
- GARCH模型
Engle在1982年首先提出了ARCH模型对方差进行建模；1986年Bollerslev将ARCH模型推广，发展已成为广义的ARCH模型，即GARCH模型。随后的十几年中，计量经济学家们对基本的GARCH模型进行了许多变形，现在已经发展成为一个包含众多方法的模型类别。目前，GARCH模型已经被广泛地应用于描述股票价格、利率、汇率、期货价格等金融时间序列的波动性特征。一般的GARCH模型可以表示为：$$y_{t}=x_{t}^{\prime} b+\varepsilon_{t}, \quad t=1,2, \cdots, T(6)$$
$$\varepsilon_{t}=\sigma_{t} \cdot v_{t}(7)$$
$$\sigma_{t}^{2}=\omega+\sum_{i=1}^{q} \alpha_{i} \varepsilon_{t-i}^{2}+\sum_{i=1}^{p} \beta_{i} \sigma_{t-i}^{2}(8)$$
其中，(6)式称为条件均值方程，{$y_{t}$}表示时间序列，可用资产收益率代替，$x_{t}$为外生变量向量，b为系数向量，$\varepsilon_{t}$为均值方程的随机扰动项；(7)式为$\varepsilon_{t}$的定义式，$v_{t}$为白噪声，(7)式表示$\varepsilon_{t}$的方差等于$\sigma_{t}^{2}$；(8)式称为条件方差方程，(8)式表示条件方差有3个组成部分：常数项$\omega$、前q期的扰动项的平方之和（即ARCH项）以及前p期的条件方差之和（即GARCH项），$\alpha_{i} \text { 和 } \beta_{i}$为相应的系数。一般地，可用最大似然法（ML）估计GARCH模型。
三、实验软件环境
Excel； EViews6.0
四、实验内容
本实验分为以下步骤：
4.1计算股票的收益率，并分析其统计特征。
（1）运行Excel软件，并打开实验数据文件（实验九.xls）。该文件收集了某股票在2003年1月6日至2009年5月14日的收盘价（向前复权价），共1475个观测值。
（2）运行EViews6.0软件，新建一个工作文件（Workfile），如图4.1所示。
（3）新建一个名为p的序列对象，并把实验数据文件中的“收盘价”数据复制到EViews，如图4.2所示。
（4）本实验的收益率采用对数收益率计算方法，计算公式为：。回到工作文件窗口，点击工具栏Object\Generate Series…（见图4.3）。在 “Generate Series by Equation”窗口的“Enter equation”栏中，输入“r =log(p/p(-1))”，再按OK，即可完成收益率的计算（注意：该序列的第一观测值为NA，表示为缺失值，因此，该序列只有1474个观测值），如图4.4所示。
（5）双击r序列对象，在序列窗口的工具栏中点击View\Descriptive Statistics & Tests\Stats Table（见图4.5），将完成对收益率r的一般描述性统计分析，结果如图4.6所示。从中可以看出收益率r的常用统计量，如其均值和标准差分别为0.001993和0.031472；Jarque-Bera统计量为87.53,对应的P值为0.00，意味着收益率r并不服从正态分布；观测值个数为1474。
4.2利用EWMA模型估计股票的条件方差和条件标准差。
由于在EViews中难以根据EWMA模型直接按照式(5)估计条件方差，因此需要把收益率数据复制到Excel后再进行计算，具体操作如下：
（1）以双击r序列对象，用鼠标选择该序列的全部数据，右击鼠标后再选择copy。此时，将弹出一个“Copy Precision”窗口，直接按OK后，即把该序列的数据复制到剪贴板。
（2）打开Excel软件，新建一个工作表文件，把光标定位于Sheet1中A1单元格，按Ctrl+V，即把收益率序列的数据复制至Excel工作表中。为清楚区分各列数据，A1单元格输入“r”，表明该列为收益率；在B1单元格输入“r_sqr”，表明该列将计算收益率平方；在C1单元格输入“v_1”，表明该列为采用EWMA模型计算的条件方差；在D1单元格输入“std_1”，表明该为采用EWMA模型计算的条件标准差。具体结果见图4.7所示。
（3）在B2单元格输入公式“=A2^2”后按回车键，然后把光标回移至B2，双击光标右下角的黒点，将自动完成该公式的向下复制；采用“选择性粘贴”方法，把B2单元格的数值（注意：不是公式）复制到C2单元格；根据前面的式(5)，并选择衰减因子＝0.94，在C3单元格输入公式“=(1-0.94)*B2+0.94*C2”后按回车键，然后把光标回移至C3，双击光标右下角的黒点，将自动完成该公式向下复制，此操作将完成条件方差的计算；在D2单元格输入公式“=C2^0.5” 后按回车键，然后把光标回移至D2，双击光标右下角的黒点，将自动完成该公式向下复制，此操作将完成条件标准差的计算。计算结果如图4.8所示。
（4）返回EViews软件中的工作文件，新建两个序列对象，名称分别为v_1和std_1，分别表示根据EWMA模型计算的条件方差和条件标准差。采用前面导入数据方法，把在Excel中计算得到的v_1和std_1数据分别复制到EViews工作文件对应的序列对象之中。注意：由于条件方差和条件标准差只有1474个观测值，因此，数据复制时应从第二个观测值开始复制，结果如图4.9所示。
4.3利用GARCH模型估计股票的条件方差和条件标准差。
（1）在工作文件窗口，新建一个名为eq1的方程对象，按OK后将弹出“Equation Estimation”窗口，在该窗口的模型估计方法“Method”处选择“ARCH – Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”（见图4.10），“Equation Estimation”窗口的结构也随之发生变化，如图4.11所示。
为简单起见，本实验项目仅估计形式最简单的一种GARCH（1，1）模型，其条件均值方程为：，变量含义如前所述。于是，为估计该GARCH模型，在“Mean equation”处，输入条件均值方程的结构：“r c”，再按“确定”（见图4.11），模型估计如图4.12所示。
从中可看出，条件方差方程的估计结果为：$$\sigma_{t}^{2}=8.44 \mathrm{e}-05+0.074980 \times \varepsilon_{\mathrm{t}-1}^{2}+0.862548 \times \sigma_{\mathrm{t}-1}^{2}$$
（2）点击eq1方程对象的工具栏Proc\Make GARCH Variance Serises…（见图4.13），在随后弹出的“Make GARCH Variance”窗口中，输入条件方差名称为“v_2”，再按OK（见图4.14），结果如图4.15所示。
（3）回到工作文件窗口，点击工具栏Object\Generate Series…（见图4.3）。在 “Generate Series by Equation”窗口的“Enter equation”栏中，输入“std_2 =v_2^0.5”（见图4.15），再按OK，即可完成条件标准差的计算。
（4）把std_1和std_2组成一个Group对象，并查看它们的变化情况，结果如图4.16所示。可见，通过EWMA模型和GARCH（1，1）模型知得到的条件方差具有类似的变化轨迹。
4、计算股票的VaR值。
根据式（3），计算置信水平c为95%时的VaR值，此时，标准正态分布的分位数=1.96。在EViews主窗口的命令输入栏输入公式“series var_1=p(-1)*1.96*std_1”，再按回车，即完成EWMA模型下的VaR计算。同理，命令输入栏输入公式“series var_2=p(-1)*1.96*std_2”，即完成GARCH（1，1）模型下的VaR计算，详见图4.17。
4.5比较股票的VaR值与股票的实际损失。
（1）在EViews主窗口的命令输入栏输入公式“series loss=p-p(-1)”，再按回车，即计算股票的实际损失。
（2）在EViews主窗口的命令输入栏输入公式“series ne_var_1= -var_1”，再按回车，即把var_1值转换为负值，以反映在置信水平c为95%时的股票的最大损失。
（3）同时，在EViews主窗口的命令输入栏输入公式“series ne_var_2= -var_2”，再按回车，即把var_2值转换为负值，详见图4.18。
（4）可以把loss序列、ne_var_1序列和ne_var_2序列组成一个Group对象，并查看其变化情况，结果如图4.19所示。
从图4.19可见，两种方法下的VaR值都包括了大部分的实际损失，有少部分实际损失超过了VaR的估计结果。
（5）在根据置信水平为95%下VaR的定义，实际损失超过VaR的概率小于5%，因此，在实际损失的观测值总数为1474的情况下，实际损失超过VaR的总次数应小于1474*0.05=73次。
为计算实际损失超过var_1的总次数，在EViews主窗口的命令输入栏输入公式“series test1=(loss<0 and loss<ne_var_1)”。双击test1序列对象，在序列窗口的工具栏中点击View\Descriptive Statistics & Tests\Stats Table（见图4.20）。
从图4.20可知，test1的和为30，即实际损失超过var_1的总次数为30次。
同理，在EViews主窗口的命令输入栏输入公式“series test2=(loss<0 and loss<ne_var_2)”后，通过对test2序列的简单统计分析可知，实际损失超过var_2的总次数为25次。
因此，相比较而然，GARCH（1，1）模型得到的VaR值更优于EWMA模型下的VaR值。
（五）实验作业
以实验十一_练习.xls为样本数据，采用EWMA模型和GARCH（1，1）模型估计VaR值，并根据实际损失超过VaR的次数，判断哪一模型符合实际。
发表回复