实验34 操作风险度量的损失分布法

一、实验目的

通过实验室的模拟教学，使学生通过情景模拟和实际操作达到以下目的：

1、熟悉巴塞尔资本协议对操作风险控制的思想和方法

2、综合应用损失分布法中所涉及到的泊松分布函数和蒙特卡罗模拟法等知识

3、掌握对操作风险进行量化的思想和方法

二、准备知识

操作风险

操作风险是指市场风险与信用风险以外的所有风险。

损失分布法

损失分布法的基本思路是：以Var方法为基础，给出一定置信区间和持有期（通常是一年），银行根据自身情况，对业务类型和事故类型进行分类并收集内部数据，为每个业务类型、事故类型测算出两个概率分布函数，一个是损失强度分布，另一个是损失频率分布，然后根据这两个测算的概率分布，计算出累计操作损失的概率分布函数。资本要求就是每个业务类型、事故类型风险价值的简单加总，Var值直接度量了最大可能损失。为了得出累计损失分布函数，目前较为常用且效果较好的方法是基于Var的蒙特卡罗模拟法

对数正态分布函数

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 x > 0，对数正态分布的概率分布函数为：$$f(x ; \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma x \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x-\mu)^{2} / 2 \sigma^{2}}$$

其中 μ 与 σ 分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是$E(X)=e^{\mu+\sigma^{2} / 2}$

方差为$\operatorname{Var}(X)=\left(e^{\sigma^{2}}-1\right) e^{2 \mu+\sigma^{2}}$

给定期望值与标准差，也可以用这个关系求 μ 与 σ

$$\begin{array}{l}\mu=\ln (E(X))-\frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)^{2}}\right) \\\sigma^{2}=\ln \left(1+\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)^{2}}\right)\end{array}$$

泊松分布函数

泊松分布函数是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

泊松分布的概率质量函数为：$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k !}$

泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

蒙特卡罗模拟法

1）蒙特卡罗模拟法的思想：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡罗方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

2）在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：

用蒙特·卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。

用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

三、实验软件环境

Excel； Eviews6.0

四、实验内容

1、确定模型所需要的参数

1）对商业银行的机构单位进行分类

2）确定事件类别

3）确定置信水平

4）确定每种事件类别的最大损失

2、建立损失强度分布模型

损失强度是指在单次的灾难事件中损失金额的多少。通常对数正态分布能较好描述金融领域损失严重程度分布。

对数正态分布的概率分布函数为：$$f(x ; \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma x \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x-\mu)^{2} / 2 \sigma^{2}}$$

3、建立损失频率模型

损失频率模型主要有二项分布、泊松分布和负二项分布。这里应用泊松分布，即对于不同的业务类别i、风险类别j，在一定期间内损失事件发生k次的概率为：$P_{i j}(k)=\frac{e^{-\lambda_{i k}} \lambda_{i j}^{k}}{k !}$

4、蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟的步骤是

1. 产生一个符合频率分布函数的随机数n

2）产生n个服从损失金额分布的独立变量$x_{i}$（i=1，2，…，n）

3）将第二步中的n个随机变量$x_{i}$（i=1，2，…，n）相加，得到一年内的操作风险损失量

4）重复第一步到第三步K次，得到K个操作风险损失的可能取值

5）将计算得到的损失量连接成一条能够较好描述潜在的损失事件的曲线。利用这K个可能的取值，就可以得到操作风险损失的分布情况，根据其分布情况，可以得到操作风险的Var值，从而得出操作风险监管资本的大小。将$l_{k}$（k＝1，2，…，k）按从小到大的顺序排列：

$l_{1} \leq l_{2} \ldots \leq l_{k}$

则置信水平为$\alpha $的Var值为：$\operatorname{Var}_{\alpha}=\min \left\{l_{k}: \frac{k}{K} \geq \alpha\right\}$

5、操作风险度量的结果检验

为了判断分析过程是否有效，对每一个风险模型都要检验其可信度。

五、实验步骤

输入每次操作风险损失金额以及每年发生操作风险的案例次数，其中损失金额命名为sunshi，案例次数命名为cishu

5.1确定规则和相关参数

1）对商业银行的机构单位进行分类

根据巴塞尔银行监管委员会的准则，以99.9％为置信水平，以一年为循环周期，并假设风险类型间是相互独立的。将我国商业银行（包括四大国有银行、股份制银行和信用社等金融机构）作为一个整体来考虑，计量为应对操作风险需分配的损失准备。

5.2建立损失强度分布模型

损失强度是指在我国金融机构在单次操作风险中损失金额的多少。

在本案例中，损失金额的分布如下图（作图流程：在工作文件夹中打开文件名为sunshi的文件，点击view――graph，选择bar，点击ok）：

对数正态分布的概率分布函数为：

$f(x ; \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma x \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x-\mu)^{2} / 2 \sigma^{2}}$

其中x为单次操作风险损失的金额，$\mu $为操作风险损失金额的期望值，$\sigma $为损失金额分布的方差。在本案例中，操作风险损失金额服从参数为5.66和2.52的对数正态分布。其中损失分布强度图如下（作图流程：点击view—descriptive statistics—histogram and stats）：

5.3建立损失频率模型

损失频率模型主要有二项分布、泊松分布和负二项分布。这里应用泊松分布，即对于不同的业务类别i、风险类别j，在一定期间内损失事件发生k次的概率为：$P_{i j}(k)=\frac{e^{-\lambda_{i j}} \lambda_{i j}^{k}}{k !}$

由于在本案例中，只讨论操作风险一种风险，同时不对金融机构类别加以区分，所以在一定期间内损失事件发生的概率为：$P(k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k !}$

根据原始记录，2000年－2008年操作风险损失的分布频率见下表：

由上述计算可知，泊松分布的参数值为19.57

做操作风险年损失频率图，图形如下：

操作风险年损失频率图的作图流程如下：在工作文件夹中打开文件名为cishu的文件，点击view――graph，选择bar，点击ok

5.4蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟的步骤是

1. 产生一个符合泊松分布（参数为19.57）的随机数n

2）产生一个符合正态分布（参数为5.66和2.52）的随机数

3）将第二步中的n个随机变量$x_{i}$（i=1，2，…，n）相加，得到一年内的操作风险损失量

4）重复第一步到第三步K次，得到K个操作风险损失的可能取值

上述4个步骤的程序实现如下（点击file――new――program，在打开的命令输入框输入以下命令，然后点击run运行）：

workfile mc u 1 1

matrix(1000,1)f

for !k=1 to 1000 step 1

series v1=@rpoisson(19.57)

!b1=v1(1,1)

!b2=0

for !kk=1 to !b1

series v2=5.66+2.52*@rnorm

if v2(1,1)>0 then

!b2=!b2+exp(v2(1,1))

else v2(1,1)=0

!b2=!b2+v2(1,1)

endif

next

f(!k,1)=!b2

next

show f

得到的矩阵f（1000*1）是由1000次模拟的操作风险年损失金额所构成（其中损失金额是发生额，而非损失金额的对数值）

将计算得到的损失金额由小到大进行排序，连接成一条能够较好描述潜在的损失事件的曲线。利用这K个可能的取值，就可以得到操作风险损失的分布情况，根据其分布情况，可以得到操作风险的Var值，从而得出操作风险监管资本的大小。

操作流程：1、新建一个工作文件夹，命名为paixu，输入变量f，f由1000个根据蒙特卡罗模拟而得到的操作风险损失金额构成。

将$f_{k}$（k＝1，2，…，1000）按从小到大的顺序排列：$f_{1} \leq f_{2} \ldots \leq f_{1000}$

（点击proc――sort current page，输入要排序的变量f，点击ok）

由于置信水平为$\alpha $的Var值为：$\operatorname{Var}_{\alpha}=\min \left\{f_{k}: \frac{k}{1000} \geq \alpha\right\}$

所以通过编如下程序可以求出操作风险Var计算结果（点击file――new――program，在打开的命令输入框输入以下命令，然后点击run运行）

matrix(4,1)g

g(1,1) = f(1000*0.5,1)

g(2,1) = f(1000*0.9,1)

g(3,1) = f(1000*0.95,1)

g(4,1) = f(1000*0.99,1)

show g

计算结果如下：

操作风险Var计算结果

上表得到在不同置信水平下操作风险年度损失金额的大小