实验36 证券市场的自回归条件异方差模型分析——以中国A股市场收益波动的非对称性研究为例

一、实验目的

ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一，被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。很多学者从不同角度推广了ARCH模型，进一步拓展了ARCH模型的应用领域，一般将这些模型统称为ARCH族模型，列举如下： GARCH(Bollerslev,1986), LOGARCH(Geweke,1986),

NARCH(higgins and bera.1982) , QGARCH (Engle and NG,1993) , GARCH-M (Engle，Lilien and Robins,1985),EGARCH(Nelson,1991), TARCH (Zakoizn,1990) and Component ARCH。目前所有的波动率模型中,ARCH族模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。自回归条件异方差模型是时间序列分析中的重要模型，也是金融计量学中应用范围广，难度较大的一类分析模型，《证券市场的自回归条件异方差模型分析》通过 “利用非对称GARCH模型分析中国股票市场波动的非对称性”的综合训练，达到运用ARCH、GARCH、方差无穷GARCH、非对称GARCH、指数GARCH和因子GARCH等GARCH族模型方法，对证券市场时间序列数据的波动性和相关性进行建模的目的，从而对如利率、汇率、通货膨胀率、股票收益率等类似问题的建模起到融会贯通的作用。本研究的特色是结合ARMA与GARCH，并根据股市的发展特征，分阶段对历史数据进行拟合。同时，在实证分析中，既要根据数据特点选择不同的要考虑均值方程的具体参数设计。

二、预备知识

（1）用EViews估计线性回归模型的基本操作；

（2）波动性的基本概念；

（3）GARCH模型的结构、种类与估计方法。

三、ARCH族模型的应用

所谓ARCH模型，按照英文直译是自回归条件异方差模型。粗略地说，该模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。ARCH族模型的应用分析从1982年开始就一直没有间断，经济学家和计量经济学家们，力图通过不断挖掘这个模型的潜力，来不断增强我们解释和预测市场的能力。从国外的研究情况来看，大致有两个研究方向：一是研究ARCH模型的拓展，完善ARCH模型。自ARCH模型始创以来，经历了两次突破。一次是Bollerslev T. 提出广义ARCH (Generalized ARCH) , 即GARCH 模型，从此以后，几乎所有的ARCH 模型新成果都是在GARCH 模型基础上得到的。第二次则是由于长记忆在经济学上的研究取得突破，分整研究被证明更有效地刻画了某些长记忆性经济现象，与ARCH模型相结合所诞生的一系列长记忆ARCH模型的研究从1996年至今方兴未艾。第二个应用是将ARCH模型作为一种度量金融时间序列数据波动性的有效工具，并应用于与波动性有关广泛研究领域。包括政策研究、理论命题检验、季节性分析等方面。

　　ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是尽人皆知的工具。可以预见，未来的研究将会在方法论和工具论两个方向进一步展开，特别是其应用研究还在不断拓展，特别是伴随着市场微观结构理论的成熟，采用ARCH模型来模拟波动性，将会对期货交易制度设计，风险控制制度设计和投资组合风险管理策略研究，提供一个更为广阔的研究空间。

四、实验内容

作为一种全新的理论，ARCH模型在近十几年里取得了极为迅速的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融市场的预测和决策。GARCH族模型能够很好的拟合证券市场的情况，其分析方法是金融计量学中最重要的分析方法之一。大量的金融市场价格行为的经验研究结果证实，方差是随时间变化而变化的，例如对利率、汇率、通货膨胀率、股票收益率等序列建立回归模型并进行预测时，经常会发现这些序列的观测值在某个时间段变化波动幅度大，在另一个时间段波动幅度小。GARCH族模型特别适合于对这类时间序列数据的波动性和相关性进行建模。项目的主要内容是运用ARMA—EGARCH及ARMA—TARCH模型，以1993年1月以来沪深两市的A股指数的日收益样本数据，分阶段检验中国股票市场收益率波动的非对称性阶段性特征，用类似的方法，利用GARCH-M模型可建立上证股市收益率与成交量的关系。

五、理论与数学模型

5.1理论分析

关于非对称性波动的研究是波动模型的一个重要方面，目前国外学者对股市波动的不对称性的产生机制存在两种解释：杠杆效应和波动反馈效应。Black（1976）、Christie(1982)研究发现美国股票的当期报酬率与未来波动性存在负相关关系，并试图解释个股收益的这种不对称波动性，他们将此现象解释为杠杆效应（Leverage Effect）， 即在其它条件不变的条件下，由于股票价格的下跌导致公司价值的降低，增加债务/权益比率，从而加剧波动性的增加和持股风险。反之股票价格的上升会降低债务/权益比率，减少波动性和持股风险，因此，股票当前收益和未来波动之间负相关。French， Schwert， and Stambaugh(1987)和Campell and Hentschel(1992)提出了波动反馈效应，认为“利好”消息连续出现的可能将增大股票价格的未来波动，这反过来会提高投资者对股票的预期回报，降低股票价格，削弱“利好”消息对股价波动的正向效应。反之，“利空”消息的冲击，引起股价下跌，与增加的波动会降低股票价格效应相叠加，增加了“利空”消息对股价波动的负向效应。上述两种解释都认为，“利好”消息和“利空”消息在对市场波动的影响上具有不对称性，同等强度的“利空”消息比“利好”消息导致的市场波动性更大。国外学者对波动的非对称性研究很多，我国股票市场的波动性研究，特别是利用GARCH类模型研究波动非对称性，尚处于起步阶段。本文拟采用1993年1月4日至2003年12月31日上证、深证A股综合指数，分别采用ARMA—EGARCH及ARMA—TARCH模型对此问题进行重新研究。

5.2数学模型

为了模拟波动的集群性，Engle提出了ARCH模型，通过对过去P期非预期回报的平方的移动平均来捕获回报序列的条件异方差性， ARCH（q） 模型在实际应用中为得到较好的拟合效果常需要很大的阶数q，这不仅增大了待估参数的个数，还会引发诸如解释变量多重共线性等其它问题。为解决ARCH模型中所存在的问题，Bollerslev（1986）提出了GARCH模型。

1、GARCH模型的定义[1]

GARCH模型可以看作是无限阶的ARCH模型。它的一般表达式是含有q个ARCH项和p个GARCH项，即GARCH(p，q)，若一个平稳随机变量x_t可以表示为ARMA(m，n) 形式，其随机误差项的方差可用p阶自回归与误差项平方的q阶分布滞后模型描述，

$$x_t=\beta_0+\beta_1x_{t-1}+\beta_2x_{t-2}+\dots+\beta_px_{t-m}+u_t+\phi_1u_{t-1}+\phi_2u_{t-2}+\dots+\phi_pu_{t-n}$$（1）

$$\sigma_t^{2}=\alpha_0+\lambda_1\sigma_{t-p}^{2}+\alpha_1u_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_pu_{t-q}^{2}$$（2）

模型应满足的条件是

$$\alpha_0>0,$$

$$\alpha_i\ge 0,\quad i=1,2,\dots,q,$$

$$\lambda_i\ge 0,\quad i=1,2,\dots,p,$$

$$0\le(\sum_{i=1}^{q}\alpha_i+\sum_{i=1}^{p}\lambda_i)<1$$

其中(1) 式称作均值方程，(2) 式称作GARCH方程。

GARCH（P，q）等价于ARCH（∞）模型，待估参数的个数大幅度减少， 但ARCH、GARCH模型要求的估计系数必须为正，且模型不能刻画许多金融时间序列中的波动非对称性特征，因为其条件方差决定于扰动项的大小而不是其符号，Pagan Schwert(1990)以及Nelson(1991)发展了指数EGARCH模型，通过把标准残差作为方差方程的移动平均的回归因子，且保留了数量效应的估计，解决了这个问题。与GARCH相比，EGARCH模型优点在于可以区别正新息和负新息的不同影响。

2、GARCH－M模型

GARCH-M(GARCH-in-mean)模型是(1)式右边增加一项$h_t$，表达式为

$$y_t=x_t{}’\beta+\gamma h_t+\varepsilon_t$$

$$\varepsilon_t=\sqrt{h_t}\cdot v_t$$

其中$h_t$服从GARCH(p, q)模型。假设模型旨在解释一项金融资产的回报率，那么增加$h_t$的原因是每个投资者都期望资产回报率是与风险度密切联系的，而条件方差$h_t$代表了期望风险的大小。所以GARCH-M模型适合于描述那些期望回报与期望风险密切相关的金融资产。

3、EGARCH模型

EGARCH模型是由Nelson 于1991年提出的，又称为指数GARCH（exponential GARCH）。其形式是

$$Ln(\sigma_t^{2})=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i\left[\frac{u_{t-i}}{\sigma_{t-i}}\right]+\sum_{i=1}^{q}\gamma_i\left[\left|\frac{u_{t-i}}{\sigma_{t-i}}\right|-\mu\right]+\sum_{j=1}^{p}\lambda_jLn(\sigma_{t-j}^{2})$$      

上式右侧第2项是用条件标准差$\sigma_t$除新息（innovation）$u_t$及其滞后项，$(u_t/\sigma_t)$表示标准新息，第3项是用均值$\mu$ 减标准新息的绝对值，正新息表示“利好”，负新息表示“利空”。在正新息和负新息绝对值相同的情况下，通过该模型可以区别正、负新息对波动的不同影响，从而检验波动的非对称性或杠杆效应。           

Zakaran(1990)以及Glosten，Jaganathan，and Runkle(1994)提出TARCH模型，与EGARCH模型一样可以区别“利好”与“利空”消息对波动的不同影响。如果将条件方差（或标准产）引入均值方程中，可得到以资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论(APT)为基础的GARCH—M类模型，从而能够刻画风险收益之间的关系，实证表明，对于风险收益关系，GARCH—M模型是合理的起点（Lamourex和Lastrapes，1990）。

4、TARCH模型定义

一般的TARCH模型形式如下：

$$\sigma_t^{2}=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i u_{t-i}^{2}+\gamma u _{t-1}^{2}d_{t-1}+\sum_{j=1}^{p}\lambda_j\sigma_{t-j}^{2}$$

其中

$$d_t=\left\{\begin{matrix}0,\quad u_t\ge 0\\1,\quad u_t<0\end{matrix}\right.$$

其中u_t > 0表示“利好”消息，u_t < 0表示“利空”消息。对于TARCH模型，“利好”和“利空”消息对条件方差的影响是不一样的。当出现“利好”消息时，波动的平方项的系数是$\alpha_1$。当出现“利空”消息时，波动的平方项的系数是$\alpha_1+\gamma$。当$gamma$ = 0时，条件方差对冲击的反应是对称的。当$\gamma\ne 0$时，条件方差对冲击的反应是非对称的，当$\gamma>0$时，称这种现象为杠杆作用。

六、数据的选取与处理

一般认为，市场平均收益水平可以用综合性指数的收益来替代，本文采用上海证券交易所及深圳证券交易所A股综合指数的日收盘数据（数据来源于中国股票市场研究数据（CSMAR））。并分别计算了复合收益率，xt=ln(Pt)-ln(Pt-1)其中Pt 、Pt-1数据分别表示t、t-1期综合指数。

考虑到1993年以前中国股票市场还处于初创时期，市场规模非常小，供需矛盾十分突出，加上市场参与者风险意识淡薄，非理性行为比较普遍，市场波动特征被严重扭曲，因此本文把样本范围确定为1993年1月4日——2003年12月31日。中国股票市场是通过价格涨跌限制来加强监管的，经过四年多的股票价格涨跌无限制的高波动时期后，1996年12月16日管理层引入10%的日收益率涨跌停板制度，意在压制过度投机，对股市波动造成了较大影响。因此本文把沪深A股数据分别分为两个阶段：第一阶段为1993年1月4日至1996年12月13日共995个数据(样本1)；第二阶段为1996年12月16日至2003年12月31日共1696个数据(样本2)。所有指数的日收益用每日收盘价的对数差分表示，如果不考虑市场派发的红利，则可以认为指数的收益近似于市场的平均收益，模型估计主要是用EViews3．1软件包提供的最大似然法程序完成的。图1、图2分别是1993年1月4日至2003年12月31日期间的上证A股综合指数及深证A股综合指数的日收益曲线。通过观察可以看出，日收益序列没有明显的趋势部分，但表现出波动的集束性，即在一些时段内收益波动较为剧烈，在另一些时段内收益波动相对平稳，用统计学的术语来说，日收益序列呈现波动的时变性或异方差性。为了合理选择研究所采用的模型，本文分析了日收益的一些基本统计指标。

七、对股市收益率进行描述性统计分析

下面研究结果，只对上海证券市场A股指数第一阶段数据即从1993年1月4日至1996年12月13日共995个数据(样本1)的研究结果作图形详细描述，其它阶段（包括上证A股第二阶段、深圳A股第一阶段、第二阶段）数据研究方法相似。

可以得到组内数据的特征，从工作文件窗口菜单选择Quick/Series Statistics/

Histogram and Stats，则会显示变量的描述统计量（图3，4），给出组中数据的描述 统计量，如均值、方差、偏度、峰度、J-B 统计量（用于正态性检验）等。根据图4的检验结果，观察JB统计量的值，可以看出P值接近0，表明至少可在99.99%的置信水平下拒绝零假设（H0:序列服从正态分布；H1：序列不服从正态分布），即收益的分布与正态分布有明显的偏差。从序列窗口菜单选择Quick/Series Statistics/ Correlogram，给出组中序列的水平序列及其差分序 列的自相关函数和偏自相关函数（图5，6），结论显示收益序列存在序列相关。

八、对股市收益率基本数据特征进行统计分析

为了合理选择研究所采用的模型，本文分析了日收益的一些基本统计指标。根据上述对股市收益率进行描述性统计分析，可以得到下面的一些分析结论：

（1） 指数的平均收益高于同期银行存款收益，但是风险也远远大于银行存款风险，上证A股从1993年到2003年的11年间的年均指数收益为5.53%，大于同期的深证A股年均指数（收益为3.59%）。较大的收益标准差反映了收益的波动性与投资者的高风险。

（2） 股市发展表现了一定的阶段性，不同时段市场的收益与波动有明显差异。如上证A股第一阶段（样本1）、第二阶段（样本2）年均指数收益分别为7.61%、4.33%，第二阶段的标准差也明显下降，市场日收益的波动性减弱。深证A股第一阶段（样本1）、第二阶段（样本2）年均指数收益分别为13.94%，-2.36%。相对而言，两个市场收益的大幅度波动都集中在第一阶段，第二阶段则为小幅度波动。通过简单的统计方法，可以判断沪深 A股市场的几个样本存在不同的均值和方差。

说明：JB统计量括号中的数值表明序列服从正态分布时出现该值JB统计量的概率。Q统计量括号中

的数值表明序列不相关时出现该值Q统计量的概率。           

（3） 收益的分布与正态分布有明显的偏差。所有样本的偏度都不等于零，说明了市场日收益分布是非对称的，两个市场A股指数在1996年12月16日至2003年12月31日期间样本的日收益分布为左偏倚（偏度<0），1996年12月13日以前的分布则都是右偏倚的（偏度>0）。所有样本的峭度（Kurtosis）都显著大于3，表明了回报的实际分布呈现厚尾特征。在检验的显著水平为0.01的情况下，根据JB（Jarque-Bera）统计量，可以判定所有样本的收益都不符合正态分布，因此采用普通的统计方法做出的分析和预测就会出现较大的误差。

（4） 收益序列存在序列相关。表1中的₁—₅表明收益的1—5期自相关函数， Q8、Q15 、Q30 分别是8期、15期、30期Ljung-Box修正统计量。在5%的检验水平下，基本可以拒绝收益序列在30期之内不存在序列相关的假设。

（5）收益序列在各时间段都是平稳的。平稳性检验方法主要有非参数检、自相关检验以及单位根检验，本文对收益序列分别进行了单位根检验的ADF（Augmented Dickey-Fuller Test）检验、PP（Phillips-Perron）检验， 结果发现收益序列都是平稳的。同时通过分析收益序列的相关图，可以找到恰当的ARMA模型对收益序列进行拟合，通过运用LM检验，证实A股指数收益序列在所有阶段都是自回归条件异方差过程。

九、估计GARCH模型，得到如下参数估计结果

综合上述分析，本文采用ARMA与 GARCH类模型相结合对收益序列进行拟合是恰当的，即用ARMA—EGARCH或ARMA—TARCH模型来研究中国股市波动的不对称性或杠杆效应及投资者的风险收益均衡。从工作文件窗口菜单选择Quick/Estimate Equation，并选择模型估计的方法是ARCH-Autoregressive Conditional Heteroskedasticity。在Equation Specification窗口，进行模型的设置后，将会出现估计结果。估计GARCH模型，得到如下参数估计结果。

说明：₃、₆分别表示指数日收益序列自相关三阶、六阶滞后项系数，  ₃、 ₆  分别表示指数日收益序列移动平均项三阶、六阶滞后项系数。*采用ARMA（6，6）—EGARCH（1，1）拟合第一阶段（样本1）。

说明：₁、₆分别表示指数日收益序列自相关一阶、六阶滞后项系数，  ₁、 ₆  分别表示指数日收益序列移动平均项一阶、六阶滞后项系数。

十、模型参数估计结果分析

（1）中国A股市场投资者总体并不属风险厌恶型，股市的投机性显著。经过反复比较，上证A股市场采用ARMA（6，6）—EGARCH（1，1）拟合第一阶段（样本1），ARMA（3，3）—EGARCH（1，1）拟合第二阶段（样本2）；深证A股市场分别采用ARMA（6，6）—TARCH（1，2）拟合第一阶段（样本1），ARMA（1，1）—TARCH（1，1）拟合第二阶段（样本2），模型的所有参数都是显著的（5%的显著水平），方程残差项通过了非自相关检验，为了研究中国股票市场的投资者是否因承受了较高的波动性而得到补偿，本文也分别采用EGARCH—M 、TARCH模型进行了拟合，结果在均值方程中引入的条件方差（或标准差）项，在所有模型中都不显著，说明中国A股市场投资者的条件预期收益和条件波动并不呈现正相关，股市的投机特性很显著。

（2）在96年12月16日以前，上证A股指数收益的波动非对称性并不明显，在A股市场实行涨跌停板制度后，收益的波动则存在非对称性，表现为杠杆效应。第一阶段模拟结果显示滞后1期、2期的新息对条件方差的影响系数的符号相反，分别为0.1389、-0.1537，因此不能直观分辨两期新息的综合影响，采用ARMA（6，6）—EGARCH（1，1）模拟后显示，第一阶段的杠杆因子很小，为0.0098，且回归系数不显著，可以认为正负冲击的效果没有明显区别。第二阶段模拟结果显示，杠杆因子为-0.0401，虽然很小，但通过了显著性检验（检验水平为1%），负的杠杆因子表明等量“利好”消息与“利空”消息对股市产生的冲击是不对称的，“利空”消息对股市的影响要比相同力度“利好”消息对股价产生的影响大。

（3）在96年12月16日以前，深证 A股指数收益的波动呈现非对称性，模拟结果显示杠杆因子为-0.0918，杠杆因子在10%的显著水平下统计显著（得出此结论犯第一类错误，即可能误判结论的概率高达8%），波动不表现为杠杆效应，而是反向的波动非对称性，即在此阶段等同有利消息对收益的波动产生的效应要大于不利消息。而在96年12月16日以后，收益波动存在非对称性，杠杆因子为0.074，回归系数统计显著，可以认为此阶段，即存在Nelson（1991）发现的负杠杆因子，收益的波动则存在非对称性，且表现为杠杆效应。可以认为这一时期“利空”消息对股市的影响要大于“利好”消息。

十一、研究结论

综合上述分析，可以看出，无论是上海还是深圳A股市场，在不同的时间段，波动的非对称性都表现出阶段性特征。股市发展早期，市场表现为反向的非对称性或非对称特征不明显，随着时间的发展，股市收益的波动则存在非对称性，且表现为杠杆效应。导致中国A股市场发展早期，市场表现为反向的非对称性或非对称性不明显的原因很多，本文认为主要有以下几点：

（1）在97年以前，中国股票市场作为一个新兴市场，相对于巨大的居民储蓄来说，总市值不高，流通市值更小，因此，一旦有有利的政策出台，大量居民储蓄流向市场，引起波动的较大变动。当出现坏消息时，由于股市缺乏有效的退市机制，以及投资者的损失规避行为倾向，造成投资者倾向于选择持续持有股票。

（2）我国股票市场缺乏做空机制，没有开设指数期货、期权、远期合约等金融衍生工具，投资品种单一和“做空”的缺乏使得整个市场处于一种严重“做多”的投机氛围当中，庄家坐庄操纵股票，广大中小股民只能依靠低买高卖来保值升值。由于缺乏成熟的市场必不可少的有效避险工具，使得市场风险偏高，造成部分投资者在出现坏消息时，宁可“套牢”也不愿“割肉解套”。

（3）从中国股市的实际运作来看，一方面由于市场发展尚不规范、不成熟，上市公司信息批露行为不规范，从信息本身来看，它具有公共物品的性质，上市公司一般不愿意或尽量少提供对公司不利的信息，投资者之间信息不对称等现象较为严重，不利于坏消息的传递。

（4）我国股市存在着高投机性、高换手率，多数个人投资者心态浮躁，充斥着短线投机观念，往往采取顺势而为的交易策略，而机构投资者具有较高的信息推断能力，容易相互联合形成的“羊群行为”和个人投资者的非理性行为产生相互抵消效应，这些因素造成中国股市发展早期，杠杆效应不显著或出现反向的非对称效应。

（5）在中国的金融市场中，贷款利率基本上是刚性的，由于上市公司在中国经济独特地位，公司贷款利率基本不受其财务杠杆影响，目前的退市机制对大多数上市公司压力很小，另一方面，融资导向式的市场发展使企业将上市融资作为终极目标，以股权融资的“软约束”代替银行信贷的“软约束”，投资者的行为逻辑也不以公司的风险与业绩为基准，而是以冒险博弈来获取短期的炒作利润，因此随利空消息而来的股价下跌导致公司价值降低，虽然会增加债务/权益比率，对投资者持股风险和波动性的增加影响有限。

上述分析说明股市在受到不利消息的影响时，往往未能完全反映，而接收到有利消息时，则又不加限制的任其反映，才会出现非对称性特征表现的不明显，因此中国证监会在规范上市公司，完善退市制度，培育机构投资者，调整证券市场结构，大力创新金融品种等方面，依然有很长的路要走。另一方面，实证结果显示1997年以后的我国A股市场，开始出现杠杆效应，即市场波动性传导机制中存在潜在的非对称性，如坏消息在已知的市场对于下一个市场交易中的报酬波动性有着较高的冲击是可能的，如负面创新在一定的市场中对于下一个市场的交易相对于正面的创新会增加较高的波动性，这些发现隐含股票市场对于其他市场的新发明有着一定的敏感度，特别是坏消息发生时。虽然效果不如美国和加拿大及欧洲股票市场那样显著，也说明导致非对称性特征不显著的因素在趋于弱化，中国股票市场在逐步走向完善。

十二、实验作业

从CSMAR数据库或其它证券行情软件下载深圳A股指数1998年年初至2006年5月底的日收盘指数数据，计算其对数差分收益率，并利用GARCH模型分析其波动的时变性。